¿Por qué el arcoíris es un arco?

Casi siempre que hago la pregunta obtengo una mirada de sorpresa de mi interlocutor. Las sugerencias de los valientes que arriesgan una respuesta suelen ser dos: “porque la Tierra es redonda” y “porque las gotas de agua son esféricas”. La primera es totalmente incorrecta; si la Tierra fuera cúbica, el arcoíris seguiría siendo un arco. La segunda es ligeramente mejor; si las gotas de agua fueran cúbicas no veríamos el arcoíris, pero cuando pregunto qué tiene que ver la forma de las gotas con el arco, generalmente empiezo a resultar francamente antipático.

Como casi todos los niños alguna vez le pregunté a mi papá qué es el arcoíris. Su explicación fue mucho más cuidadosa y detallada de lo que suelen ser las explicaciones que se le dan a los niños. Debo haber tenido 5 o 6 años pero recuerdo que la explicación duró buena parte de la tarde.

“Todo lo que vemos es luz…” empezó diciendo mi padre, y me explicó que cuando uno prende un foco, el foco produce luz, pero el resto de lo que vemos es la luz producida por el foco que rebota contra los objetos cercanos. Después me explicó que la luz blanca es en realidad luz de todos los colores; que cuando vemos un objeto rojo, lo que sucede es que el objeto refleja la luz roja y absorbe las luces de otros colores. El conocido experimento del círculo de cartón pintado en gajos de colores primarios y secundarios que al girar con rapidez se ve blanco, disipó mi escepticismo inicial. De ahí pasamos a la refracción de la luz al pasar a un medio más denso. Un cenicero de vidrio en el ángulo adecuado proveyó el ejemplo necesario. Al ver los colores del arcoíris en la servilleta blanca proyectados por el cenicero al ser iluminado por el sol, empecé a albergar esperanza.

– El agua es más densa que el aire, así que el agua difracta la luz igual que lo hace el vidrio del cenicero, por lo que cuando llueve y hay sol, hay algún lugar desde el que se ve el arcoíris. ¿Entendiste?

– No

Lo que no entendía era porqué vemos bandas estáticas de colores en lugar de ver una profusión de puntitos multicolores cayendo, como los aretes de brillantes de la gente rica que reparten destellos de colores en las salas de conciertos (o por lo menos eso hacían en las películas de Elizabeth Taylor). No sé si es que tuve problemas para transmitir mi perplejidad o fue, simplemente, que mi padre tampoco sabía la respuesta, pero abandonó la explicación pocos minutos después.

A decir verdad, no me importó no haber entendido. Toda la explicación hizo que la cuestión del arcoíris pasara a segundo plano y quedara reservada para después. Me resultó mucho más fascinante la idea de que la percepción no nos pone en contacto directo con el mundo sino que percibir algo es el efecto de interacciones remotas.

Sin embargo, a pesar de no haber quedado satisfecho, sí alcancé a comprender que ahí, frente a nosotros, habían estado los principios de la verdadera explicación, pero no habíamos podido armarlos. Gracias a la explicación de mi padre me bastó por mucho tiempo saber que existía una explicación.

Durante mi niñez bastó saber que no sabía pero que ahí estaba algo que había que saber. Sin embargo, diez años después seguía yo sin entender y el asunto empezaba a resultarme molesto. Preguntarle a Petunia, apodo de mi maestra de física de la preparatoria, resultó previsiblemente inútil, así que viví mi juventud con la conciencia tenue pero pertinaz de no saber qué es un arcoíris.

Un domingo de primavera, después de un invierno inusualmente crudo, decidí gastar un rollo completo de Kodachrome 25 en los tulipanes, que empezaban a abrirse, de las rotondas de flores de Regent’s Park. Buscaba yo, cámara en ristre, el ángulo adecuado del sol matutino cuando de pronto, sin previo aviso, la explicación de la forma del arcoíris se formó en mí mente. Caí hacia atrás sobre el pasto, aturdido por la epifanía repentina, y me quedé sentado como oso de peluche, sonriéndole a las abejas, disfrutando la revelación, hasta que una inglesa comedida pregunto -“Are you alright, luv?” Nunca había estado mejor en mi vida.

Así que entremos en materia: ¿por qué el arcoíris es un arco?

Empecemos, claro, por el principio: La luz, al pasar de un medio a otro de diferente densidad (como cuando pasa del aire al agua) se difracta, es decir, cambia de dirección. Esto quiere decir que la dirección en la que sale la luz de una gota de agua, es diferente de la dirección en la que viajaba la luz al entrar.

Cada sustancia es capaz de cambiar la dirección de la luz en un monto diferente y esta cantidad de desviación es el índice de refracción (IR) específico de cada sustancia. En el caso del arcoíris, el ángulo que forma el rayo saliente respecto del rayo entrante depende del ángulo con el que la luz llega a la gota de agua, y de los índices de refracción del agua y del aire, que básicamente dependen de la densidad de cada uno. Lo importante es saber que la luz cambia de dirección dependiendo del ángulo y de la diferencia de densidades de cada sustancia, pero si alguien insiste en que necesita la fórmula para calcular el cambio de dirección, es esta: Sena/Senb = IRa/IRw

Si somos observadores, habremos notado que vemos el arcoíris cuando el sol está (más o menos) a nuestras espaldas. Esto quiere decir que lo que vemos es luz, no sólo refractada, sino luz reflejada, es decir, es luz que rebota en las gotas de agua. La luz se refracta al entrar a la gota, se refleja en la pared de atrás y se vuelve a refractar al salir de la gota en una trayectoria ilustrada en la figura 3

Ahora bien, la luz blanca está compuesta por luz de todas las longitudes de onda, es decir por todos los colores. Cada color se refracta en un ángulo diferente y específico a ese color, como bien sabe cualquiera que haya visto la portada de The Dark Side of the Moon de Pink Floyd.

Pero las gotas no son prismas triangulares de modo que la luz no se refracta en una sola dirección. Cada color se refracta en todas las direcciones que estén en el ángulo adecuado. Supongamos que el rojo se refracta en el ángulo a, el naranja se refracta en el ángulo b, el amarillo en el ángulo g, y así sucesivamente. Obsérvese en la figura 5 que hay dos líneas en el ángulo a, dos en el ángulo b, dos en el ángulo g, etc., es decir, la gota refleja cada color en esas dos direcciones.

Por supuesto, las gotas no son círculos sino esferas y el conjunto de ángulos iguales en tres dimensiones no son dos líneas como en la figura 5 sino muchas. Hay ángulos a iguales todo al derredor del eje x, formando un cono como en la figura 6.

Como cada color tiene su cono de luz, lo que realmente se obtiene es una serie de conos concéntricos de colores como en la figura 7 (el cono se ve gris porque los conos de todos colores dan luz blanca sobre un fondo negro).

Ahora, por primera vez en nuestra explicación, apareció un arco pero no hay que precipitarse, la explicación sigue incompleta. En primer lugar, el arco de la figura 7 lo generó una sola gota de agua, y lo que vemos como arcoíris no es una sola gota. En segundo lugar, aun no hemos explicado por qué no vemos puntitos de diferentes colores que cambian de color al caer.

Lo que necesitamos explicar es cómo es que miles de gotas de agua cayendo aleatoriamente envían hacia nosotros colores perfectamente ordenados en un arco. Claramente, un observador que se encuentre en el camino de la luz roja que refracta una gota, la verá roja y un observador que se encuentre en el camino de la luz violeta verá la misma gota, de color violeta.

En la figura 8 el observador A (abajo) ve la gota de color rojo y no la ve de ningún otro color porque los otros colores no le llegan a su retina. Por otro lado, el observador B (arriba) ve la gota de color violeta y de ningún otro. Obviamente si el observador A se moviera un poco hacia arriba, dejaría de ver la gota color rojo y la vería naranja, más arriba amarilla, etc. De la misma manera, si el observador B se moviera hacia arriba dejaría de ver la gota violeta y la vería azul, luego cian, etc. Exactamente lo mismo vería cada uno si fuera la gota la que se moviera hacia abajo. Ahora bien, para el observador A la gota de agua está por arriba de él, mientras que para el observador B la gota está abajo. Normalmente las gotas de lluvia llegan al nivel al que estamos parados, al suelo, y no siguen bajando, por eso siempre vemos el arcoíris arriba de nosotros. Olvidamos pues al observador B y nos quedamos (por el momento) con el brazo de abajo de luz refractada. Esto parecería acarrear un problema porque en el brazo de abajo los colores están de cabeza, pero veremos cómo se ponen “al derecho”

La figura 9 muestra gotas de agua al caer (en cámara lenta). En el lado izquierdo vemos desde fuera, y en el derecho tenemos el punto de vista del observador. Cuando la gota de agua está arriba de la línea L₁ el observador no ve la gota de agua porque, aunque la gota de agua refleja luz refractada, no lo hace en dirección al observador. De igual manera, cuando la gota está por abajo de L₂ el observador no la ve porque la gota no refleja luz hacia el observador. Entre L₁ y L₂, la gota se hace visible pero va cambiando de color conforme cae. En el lado izquierdo, al ojo se le pone la retina del color que le llega de la gota. En el lado derecho tenemos el punto de vista del observador, es decir vemos lo que ve el observador. Nótese que aunque las bandas de color de la izquierda están al revés, el observador los ve en el orden correcto (primero el rojo, luego el naranja, etc.).

La gota refleja todos los colores todo el tiempo, pero recordemos (figura 8) que el observador no ve la luz que no le llega a la retina y por lo tanto sólo ve un color a la vez entre L₁ y L₂.

Agreguemos muchas gotas de agua y detengamos en el tiempo. Si bien todas las gotas reflejan todos los colores todo el tiempo, al observador le llega un color de cada gota, a lo más. No ve la luz que no le llega a la retina y por lo tanto sólo ve un color a la vez entre L₁ y L₂.

El observador no ve ninguna de las gotas que están arriba de L₁ y ninguna de las que están abajo de L₂, pero entre L₁ y L₂ ve siete gotas. La de arriba la ve roja porque es el color de la luz que le llega de la gota de arriba. La siguiente la ve anaranjada porque es el color de la luz que le llega de la segunda. Si animáramos la figura 10 e hiciéramos que las gotas cayeran veríamos exactamente lo mismo que en la figura estática. En el primer instante t₁, hay una gota que refleja hacia el observador luz roja. En el instante siguiente t₂, esa gota bajó y ahora refleja hacia el observador el naranja, pero hay una segunda gota que ha tomado su lugar y que refleja hacia el observador luz roja. En el siguiente instante t₃, la primera gota refleja ahora el amarillo y la segunda gota que en t₂ reflejaba el rojo, ahora refleja el naranja, pero hay una tercera gota que refleja el rojo hacia el espectador y así sucesivamente. Siempre hay una gota en cada color del arcoíris y por lo tanto, el espectador siempre ve lo mismo.

Es por esto que vemos bandas de colores en lugar de puntitos que cambian caprichosamente de color. Las gotas esféricas cambian de color conforme caen, pero lo hacen de manera ordenada siempre igual porque no importa qué lado nos presenten, siempre son redondas. Si las gotas de agua tuvieran la forma de diamante con muchas caras planas, no reflejarían siempre el mismo color en el mismo lugar y por lo tanto no veríamos bandas de colores.

Ahora sólo falta explicar porqué las bandas de colores son curvas y forman un arco.

Habíamos dicho que cada color se refleja en un ángulo específico y que el conjunto de ángulos para cada color forma un cono. Ahora hagamos la pregunta complementaria: ¿Qué figura forma el conjunto de gotas que reflejan hacia mi luz roja?… En la figura 11, el observador ve las gotas 1 y 3 como puntos rojos porque la luz roja que difractan llega al observador, pero no ve la gota 2, pues esta no refleja luz hacia él. Dado que el sol está a espaldas del observador el eje de visión (v) es paralelo a los rayos de luz (x₁, x₂, x₃). Como son paralelos, el ángulo a en el que se refleja el rojo en cada gota es igual al ángulo a en el que se encuentran las gotas respecto del observador (es bastante obvio pero además éste es un teorema de la geometría euclidiana que se puede demostrar con regla y compás).

Esto quiere decir que todas las gotas que estén en el ángulo a respecto del observador reflejarán hacia él el color rojo. Todas esas gotas están en un cono cuyo eje pasa por el ojo del observador.

En la figura 12, entre el ojo y el arco rojo no se ve nada porque ahí no está lloviendo y por lo tanto no hay gotas que reflejen el rojo (ni ningún otro color) hacia el observador. La cortina de lluvia empieza donde está el arco rojo. Lo mismo sucede con todos los otros colores. Lo que vemos son arcos concéntricos de colores. Por supuesto, la pregunta inmediata es ¿Y entonces por qué vemos un arco que no tiene profundidad? Sí hay una poca de profundidad, como lo sugieren las líneas rojas que continúan detrás del arco en la Figura 12. Sin embargo la lluvia es muy opaca (es frecuente ver paisajes en los que la lluvia se ve como una cortina gris difusa entre una nube y la tierra) y esto quiere decir que la luz no penetra bien toda la profundidad del aguacero y por lo tanto lo que vemos como arcoíris son las capas más externas; en efecto, una superficie en forma de arco.

Y todo esto ¿para qué? A fin de cuentas no todo el mundo vive atormentado por no saber el porqué de la forma del arcoíris… Aunque tal vez debieran…

Cuando los niños preguntan, rara vez están interesados realmente en la información que obtienen. Lo que en realidad están haciendo es explorar una serie de preguntas filosóficas de dificultad extrema. En primer lugar están explorando los límites de las explicaciones: ¿Tiene sentido pedir una explicación de la explicación de la explicación y así hasta el infinito? Si no, ¿hasta donde puede uno pedir una explicación? ¿En donde debe uno detenerse? En segundo lugar están explorando el tipo de objeto que constituye una explicación. ¿Qué tipo de oración explica otra? ¿Cuántos tipos de explicaciones se pueden dar? ¿Cuál es la relación entre una pregunta y una respuesta adecuada?

Cuando respondemos a las preguntas de los niños, casi siempre con demasiada ligereza, definimos el tipo de explicaciones que, como adultos, tenderán a resultarles satisfactorias, pero también definimos el tipo de preguntas que están dispuestos a hacerse. No es poca cosa, pues esto quiere decir que lo que hacemos es fijar los límites de su universo. Mostrar el mundo en toda su riqueza y complejidad es el mejor regalo que se le puede hacer a una persona.

Hay muchas respuestas posibles a la pregunta de por qué se forma el arcoíris y cada tipo de respuesta tiene diferentes consecuencias en la forma en que integramos el mundo. Una vez que aprendemos cuales son los patrones de explicación, estos quedan fijos y tenemos el impulso de no detenernos hasta encontrar una explicación de ese tipo. Una vez encontrada esa explicación tendemos a no buscar más allá pues hemos encontrado la explicación que, de niños, aprendimos resultaba satisfactoria.

Por ejemplo, responder que el arcoíris es un regalo de la naturaleza que es muy sabia, puede dar la idea de que la persona es el centro del universo. Hay demasiada gente que cree que el universo se confabula para enseñarle lecciones, o que basta con que desee algo con suficiente fuerza para que el universo se lo envíe. No se necesita una reflexión profunda para saber que es gente cuyo egoísmo es ontológico y de proporciones cósmicas. De manera semejante, responder que el arcoíris es un regalo de algún dios dará la impresión de que las cosas suceden siempre por voluntad de alguien. Las personas que han recibido este tipo de respuestas tenderán a buscar conspiraciones descabelladas y ángeles, porque el mundo tiene sentido para ellos solamente cuando los fenómenos están producidos por alguna voluntad misteriosa. La mayor probabilidad de adoptar explicaciones verdaderas y útiles radica en buscar siempre la explicación naturalista y compleja porque vivimos en un mundo natural complejo.

Si tengo razón, las actuales teorías pedagógicas y didácticas, según las cuales lo importante es dar a los niños pequeños retazos de información de fácil comprensión y memorización, están radicalmente equivocadas. Esta práctica propicia jóvenes mentalmente ineptos, para quienes las explicaciones han de consistir en una frase corta y fácil. Mucho más sensata, es la idea de que los niños deben aprender a aprender, y encontrar las respuestas a sus preguntas por sí mismos. Pero también es insuficiente porque supone que los niños saben qué tipo de respuesta es satisfactoria para su pregunta, y no siempre saben. El universo es complejo y mientras más complejo más divertido. Por ello, a los niños hay que darles explicaciones que los hagan vislumbrar esa complejidad. Idealmente hay que explicar en términos que el niño entienda, pero aun cuando la explicación en sí esté más allá de sus capacidades cognoscitivas, es mejor mostrarle el tipo de explicaciones que debe buscar que enseñarle a buscar “explicaciones” que “entiende” pero que no explican. Una persona para la cual una explicación compleja no tiene sentido, vivirá siempre en un mundo pauperizado, independientemente de la cantidad de dinero que acumule.

Por supuesto, no parece grave vivir sin saber porqué el arcoíris es un arco. Sin embargo conocer la explicación, genera formas de pensamiento complejo que ayudan a entender el mundo en todos los ámbitos. Si me preguntaran para qué sirve saberlo, yo diría que sirve para todo: para cocinar, para tomar decisiones políticas, para enamorarse… para todo, porque mientras más complejos sean nuestros procesos de pensamiento más finas serán nuestras decisiones. Saber plantearse preguntas, saber que hay más que entender, saber cómo buscar lo que hay que entender, son habilidades generales para la vida.

Y hablando de aprender a preguntar, espero que a estas alturas ya se le haya ocurrido al lector la siguiente pregunta obvia: ¿porqué vemos bandas de colores en el arcoíris en lugar de ver una gradación continua de un color a otro?

La respuesta informa tanto sobre sicología de la percepción como sobre física. Lo que vemos no son bandas de colores; sí vemos una gradación continua. Si lo pensamos con cuidado, no puede ser de otra manera: la luz blanca contiene todos los colores, tanto el rojo puro y el naranja puro, como los tonos naranja rojizos que no tienen nombre, tanto el amarillo y el verde puros como el verde amarillento. No hay razón para que la física obedezca el accidente histórico mediante el cual nombramos los colores. Sin embargo, toda la vida nos han dicho que el arcoíris son bandas de colores; yo mismo hice toda la explicación asumiendo que se trata de bandas de colores (en parte lo hice para facilitar los diagramas pero nada sustancial se falsea en la explicación por el hecho de ser un continuo). El hecho es que tendemos a integrar la experiencia de ver un arcoíris como si fueran bandas de colores pero no lo son.

Para demostrarlo basta ver, con mente abierta, un arcoíris.

Una vez que aceptamos la posibilidad de que lo que vemos es un continuo de colores, veremos que ese arcoíris no tiene bandas de colores sino una gradación continua. QED.